CODI: 26305

Càrrega docent: 4,5 crèdits teòrics + 3 crèdits pràctics
 
 

Professora coordinadora: Guadalupe Gómez i Melis
Altres professors: Pedro Delicado
 

Objectius del curs

L’objectiu d’aquesta assignatura és proporcionar una sòlida base teòrica dels fonaments de la Inferència Estadística i de la Teoria de la Decisió. Es pretén que aquesta fonamentació capaciti els estudiants per a les innovacions i les aplicacions d’alt nivell. D’una altra banda, pretén ser una llavor formativa per a la consolidació de joves investigadors en aquesta àrea de la ciència i la tecnologia.
 
 

Programa

1. Introducció

• Concepte de variable aleatòria, esperança i variància. Famílies de distribucions. Vectors aleatoris.
• Sumes de variables aleatòries. Mostreig d'una llei Normal. Aproximacions.

1. Principis estadístics per reduir les dades mostrals

• Principi de suficiència.
• Principi de versemblança.

1. Estimació puntual 1: Mètodes per trobar estimadors

• La funció de distribució empírica. Teorema de Glivenko-Cantelli.
• Principi de substitució. El mètode dels moments.
• Màxima versemblança. Propietat d’invariància. Càlcul de l'estimador mitjançant mètodes numèrics.
• I nferència Bayesiana. Distribucions a priori i a posteriori. Famílies conjugades. Funció de pèrdua. Estimadors de Bayes.

1. Estimació puntual 2: Avaluació d’estimadors

• Error quadràtic mitjà, Biaix, Eficiència relativa.
• Millor estimador sense biaix. Informació de Fisher. Teorema de Cramer-Rao.
• Teorema de Rao-Blackwell. Teorema de Lehmann-Scheffé.
• Consistència. Normalitat asimptòtica. Mètode delta. Eficiència relativa asimptòtica
• Teoria asimptòtica per l’estimador màxim versemblant.

1. Proves d'hipòtesis

• Definicions bàsiques. Lema de Neyman-Pearson per a hipòtesis simples.
• Proves uniformement més potents. Lema de Neyman-Pearson per alternatives compostes.
• Raó de versemblança monòtona. Teorema de Karlin-Rubin.
• Proves no esbiaixades. Proves localment més potents.
• Prova de la raó de versemblança. Distribució asimptòtica.
• Score test. Prova de Wald. Proves en presència de paràmetres nuisance.
• Proves Bayesianes. Avantatge a priori i a posteriori. Factor de Bayes.

1. Estimació per intervals.

• Regions i intervals de confiança. Probabilitat de cobertura.
• Mètodes per trobar intervals de confiança: invertir la prova estadística, a partir de quantitats pivotals, mitjançant regions Bayesianes (intervals de credibilitat).

1. Introducció a la Teoria de la Decisió

• Elements bàsics en un problema de decisió: espai d'estats, funcions de pèrdua i d'utilitat, regla de decisió, distribució a priori, funció de risc, risc i regles de Bayes.
• La teoria de la decisió en el context d'inferència estadística.
• Regles de decisió de Bayes.
• Admissibilitat de les regles de decisió.

Avaluació

Realització d’un examen parcial no alliberatori i d’un examen final. Realització d’una práctica obligatòria. La realització i entrega d’exercicis i problemes formarà part de la qualificació final.
 
 

Bibliografia

Referències bàsiques:

• Arnold, S.F.: Mathematical Statistics. Ed. Prentice-Hall, 1990
• Azzalini, A.: Statistical Inference Based on Likelihood. Ed. Chapman and Hall, 1996.
• Casella, G. i Berger, R.L.: Statistical Inference. Ed. Duxbury Press, 1990.
• Garthwaite, Jollife and Jones: Statistical Inference. Ed. Prentice-Hall, 1995.

• Welsh, A.H.: Aspects of Statistical Inference. Ed. Wiley, 1996.

• Crístobal, J.A.: Inferencia Estadística. Universdad de Zaragoza, 1992.
• DeGroot, M.H.: Probability and Statistics. Ed. Addison-Wesley, 1989.
• Schervish, M.J.: Theory of Statistics. Ed. Springer, 1995.
• Silvey, S.D.: Statistical Inference. Ed. Chapman and Hall, 1983.
• Vélez, R.; García, A.: Principios de Inferencia Estadística. Ed. UNED, 1993.