FACULTAT DE CIÈNCIES ECONÒMIQUES I EMPRESARIALS U.P.F.

ESTADÍSTICA Curs 1998-99, segon trimestre

Objetivos de la practica:

Recordar dos resultados que serán utilizados repetidamente durante el curso: la Ley de los Grandes Números y el Teorema Central del Límite. Monstrar al estudiante que el programa MINITAB es una herramienta útil para la comprensión de los temas tratados en clase.

Resultados teóricos:

 
Ley de los Grandes Números (la media muestral converge a la esperanza poblacional):
Sea X una variable aleatoria con esperanza m y varianza s² finita. Sean X₁,¼, X_n, ¼ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (v.a.i.i.d.) con la misma distribución que X. Sea

_ X   n  = 1 n n å i = 1  Xi

la media aritmética de las primeras n variables aleatorias X_i. Entonces se tiene que [`X]_n converge en probabilidad a m cunado n tiende a infinito:

_ X   n  ®p m.

Teorema Central del límite (la media muestral, centrada y tipificada, tiene distribución aproximadamente normal estándar):

En las condiciones anteriores, cuando n tiende a infinito se tiene que

Ön ( _ X   n  - m) s ®d Z,

donde Z es una variable aleatoria con distribución N(0,1) y la convergencia es débil (o en distribución).

Considera las siguientes distribuciones de probabilidad:

• [(a)] Normal estándar: N(0,1).
• [(b)] Uniforme en el [0,1].
• [(c)] Lognormal de parámetros

  m = 0, s = 1. Su esperanza es Öe » 1.6487 y su desviación típica [Ö(e(e-1))] » 2.1612.

1. Para cada una de estas distribuciones dibuja la función de densidad:
   • Crea una columna con los puntos del soporte.
     
     Calc ® Make Patterned Data ® Simple Set of Numbers
   • Calcula el valor de la densidad en los puntos del soporte. Calc ® Probability Distributions ® distribución
   • Dibuja la función de densidad. Graph ® Plot Haz un bosquejo de ese gráfico en la tabla de resultados.

2. Para cada distribución haz las siguientes tareas:
   1. Toma 200 muestras de tamaño n = 5. Esto lo haremos generando datos aleatorios en n = 5 columnas (C1-C5) de longitud 200. Calc ® Random Data ® distribución ®
      Generate 200 rows of data
      Store in column(s): C1-C5

   2. Calcula la media muestral de las 200 muestras de tamaño 5: Calc ® Row Statistics ® (Seleccionamos Mean)
      

      input variables: C1-C5
      

      Store result in: C6

      De esta manera tendrás en C6 200 observaciones de [`X]_n, para n = 5.

   3. Calcula la media y la desviación típica de las 200 medias muestrales que acabas de calcular. Stat ® Basic Statistics ® Descriptive Statistics Anota esos valores en la tabla de resultados.

   4. Dibuja el histograma de las 200 medias muestrales que acabas de calcular. Graph ® Histogram Haz un bosquejo de ese gráfico en la tabla de resultados.

   5. ¿Se parece la forma de ese histograma a la de la función de densidad de una normal (campana de Gauss)? Contesta en la tabla de resultados.

3. Repite el apartado anterior para n = 20. Anota tus respuestas en la tabla de resultados.

4. Repitelo ahora para n = 90. Anota tus respuestas en la tabla de resultados.

5. En la tabla de reslutados, comenta los valores y gráficos anteriores y su relación con la Ley de los Grandes Números y con el Teorema Central del Límite.