FACULTAT DE CIÈNCIES ECONÒMIQUES I EMPRESARIALS U.P.F.

ESTADÍSTICA Curs 1998-99, segon trimestre

Objetivos de la practica:

Aprender el uso básico de MINITAB para el cálculo de intervalos de confianza. Comprobar empíricamente el carácter frecuentista del concepto de confianza de un estimador por intervalos.

Expresiones de algunos intervalos de confianza:

 
Sea X ~ N(m, s²), s² conocida. Sea X₁,¼,X_n una m.a.s. de X, [`X]_n la media muestral calculada a partir de ella y S² la varianza muestral (también se la denota por s_X²). Un intervalo de confianza (1-a) para m es

IC1-a(m) º æ ç è _ x   n  -±za/2 s Ön ö ÷ ø .

Si el tamaño muestral es suficientemente grande, el mismo intervalo de confianza se puede usar aunque s² no sea conocida (se ha de sustituir por la varianza muestral) e incluso cuando X no sea normal.

Si X es normal y el tamaño muestral no es grande (n £ 30) la expresión de un intervalo de confianza (1-a) para m es

IC1-a(m) º æ ç è _ x   n  -±tn-1,a/2 S Ön ö ÷ ø .

Si X ~ Bern(p), entonces la proporción poblacional p coincide con m = E(X), la proporción muestral [^p]_n coincide con la media muestral y la estimación de la varianza usada habitualmente es [^p]_n(1-[^p]_n). Si n es grande, entonces

IC1-a(p) º æ ç ç ç ç ç è ^ p   n  -±za/2   æ Ö ^ p   n  (1- ^ p   n  ) n   ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø .

Considera la distribución de probabilidad poblacional

X ~ N(m = 3,s² = 4).

1. Toma una muestra de tamaño n = 20 de X. Calc ® Random Data ® distribución ®
   Generate 20 rows of data
   Store in column(s): C1

2. Calcula el IC_95%(m) suponiendo s² conocido. Stat ® Basic Statistics ® 1-sample z
   

   Variables: C1
   

   Sigma: 2
   

   (En Graphs seleccionar Histogram)

3. Repite el apartado anterior para construir un IC_99%(m). ¿Cómo explicas que este intervalo más fiable sea más ancho que el anterior?

4. Calcula el IC_95%(m) suponiendo s² desconocido. Stat ® Basic Statistics ® 1-sample t
   

   Variables: C1
   

   (En Graphs seleccionar Histogram)

   ¿Esperabas que este intervalo fuese más ancho o más estrecho que el que calculaste al principio?

5. Toma ahora 200 muestras de X tamaño n = 50. Esto lo haremos generando datos aleatorios en n = 50 columnas (C1-C50) de longitud 200. Calc ® Random Data ® distribución ®
   Generate 200 rows of data
   Store in column(s): C1-C50

6. Calcula la media muestral de las 200 muestras de tamaño 50: Calc ® Row Statistics ® (Seleccionamos Mean)
   

   input variables: C1-C50
   

   Store result in: C51

   De esta manera tendrás en C51 200 realizaciones de [`X]_n, para n = 50.

7. Calcula la media y la desviación típica de las 200 medias muestrales que acabas de calcular. Stat ® Basic Statistics ® Descriptive Statistics

8. Dibuja el histograma de las 200 medias muestrales que acabas de calcular. Graph ® Histogram ¿Se parece la forma de ese histograma a la de la función de densidad de una normal (campana de Gauss)?

9. Calcula la desviación típica muestral de las 200 muestras de tamaño 50: Calc ® Row Statistics ® (Seleccionamos Std. Dev.)
   

   input variables: C1-C50
   

   Store result in: C52

   De esta manera tendrás en C52 200 realizaciones de S_X, para n = 50.

10. Construye las 200 varianzas muestrales: Calc ® Calculator
    

    Store results in : C53
    

    expression: C52 * C52

    y dibuja el histograma de esos 200 valores que acabas de calcular. Graph ® Histogram ¿Se parece la forma de ese histograma a la de la función de densidad de una c²?

11. Calcula para cada una de las 200 muestras los extremos del IC_95%(m) suponiendo s conocido:
    

    Extremos inferiores:

    Calc ® Calculator
    

    Store results in : C54
    

    expression: C51 - 1.96*2/sqrt(50)

    Extremos superiores: Calc ® Calculator
    

    Store results in : C55
    

    expression: C51 + 1.96*2/sqrt(50)

12. ¿Cuántos de estos intervalos no contienen al verdadero valor del parámetros m = 3? Calc ® Calculator
    

    Store results in : C56
    

    expression: sum((c54>3) Or (c55<3))

13. ¿Cuál es la anchura media de esos intervalos? ¿Y la varianza muestral de la anchura?

14. Repite los tres últimos apartados para construir IC_95%(m) suponiendo s desconocido.

|c|c| Respuesta

2    
3 a
3 b
4 a
4 b
7
8
10
12
13
14 a
14 b