FACULTAT DE CIÈNCIES ECONÒMIQUES I EMPRESARIALS U.P.F.

ESTADÍSTICA Curs 1998-99, segon trimestre

Objetivos de la práctica:

 

• Enseñar cómo usar MINITAB para llevar a cabo dos técnicas estadísticas de gran utilidad: contraste de independencia en una tabla de contingencia y análisis de regresión lineal simple.
• Mostrar la importancia que los gráficos de dispersión tienen como paso previo de un análisis de regresión.

Conviene recordar:

 

• Contraste de independencia en una tabla de contingencia. Tenemos una muestra aleatoria simple de tamaño n de una población bivariante discreta (X,Y), X puede tomar los valores c₁,Ľ,c_r, Y puede tomar los valores d₁,Ľ,d_s. Se desea contrastar H₀:X e Y son independientes, frente a que no lo son.

  Sea O_ij el número de observaciones para las cuales X vale c_i e Y vale d_j. Las estimaciones de p_i = P(X = c_i) y q_j = P(Y = d_j) serán

  ^ p   i  = ĺ j  Oij n ,      ^ q   j  = ĺ i  Oij n .

  Bajo la hipótesis nula P(X = c_i,Y = d_j) = p_iq_j, probabilidad que estimaremos mediante [^p]_i [^q]_j, con lo que el número esperado de observaciones en la casilla (i,j) de la tabla de contingencia de (X,Y) es E_ij = n [^p]_i [^q]_j. El estadístico que usamos para contrastar la hipótesis nula de independencia es

  c2 = r ĺ i = 1  s ĺ j = 1  (Oij - Eij)2 Eij ,

  que bajo H₀ tiene aproximadamente (si n es grande) una distribución c² con (r-1)(s-1) grados de libertad. Rechazamos H₀ con un nivel de significación a si el estadístico c² observado es mayor que el punto crítico c²_(r-1)(s-1),a. El p-valor del test es

  P(c2(r-1)(s-1) > c2).

• Tenemos n observaciones de pares (Y_i,x_i), i = 1,Ľ,n, que siguen un modelo de regresión lineal simple:

  Yi = a+ bxi + ei, E(ei) = 0,V(ei) = s2.

  Los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) de a y b son

  ^ b   = Sxy Sx2 ,    ^ a   = _ y   - ^ b   _ x   .

  El estimador de s² es [^(s)]² = S_e² = (ĺ_i[^e]_i²)/(n-2), donde [^e]_i = y_i - [^y]_i son los residuales y los valores [^y]_i = [^(a)] + [^(b)] x_i son los valores ajustados (fitted) por el modelo. La descomposición de la suma de cuadrados de los errores

  SST = SSR + SSE

  n ĺ i = 1  (yi - _ y   )2 = n ĺ i = 1  ( ^ y   i  - _ y   )2+ n ĺ i = 1  ^ e   2 i

  permite calcular qué proporción de la variabilidad total de la variable dependiente (SST) puede ser explicada por el modelo de regresión (SSR) y qué parte es variabilidad no explicada (SSE). A la primera proporción le llamamos coeficiente de determinación R²:

  R2 = SSR SST = 1 - SSE SST .

  Se verifica que R² = r_xy², donde r_xy es el coeficiente de correlación muestral entre x e y.

Vamos a trabajar con el fichero de datos pricecar.mtw (extraído de Frees, E.W.(1996) Data Analysis Using Regression Models. The business perspective, Prentice Hall). Son datos correspondientes a una muestra de 62 compradores de coches, para cada uno de los cuales se midieron siete variables:

1. Abre el fichero de datos que está en el directorio I:estadistica

2. Contrastes de independencia en tablas de contingencia.
   Consideraremos dos de las variables cualitativas del fichero pricecar: la variable binaria que indica si el comprador tiene estudios universitarios y la variable que mide el número de hijos del comprador. Construiremos la tabla de contingencia de estas variables y calcularemos el estadístico c² para contrastar la hipótesis nula de independencia entre Est.Univ e Hijos. Stat ® Tables ® Cross Tabulation
   

   Variables: Hijos 'Est.Univ'
   

   Above and std. residual

   De esta manera MINITAB escribe una tabla que contiene en cada celda los valores

   Oij,   Eij y Oij-Eij   ć Ö Eij   .

   La última cantidad es lo que el programa llama Residuo estandarizado y tiene una distribución aproximadamente normal estándar si la hipótesis nula de independencia es cierta. Estos valores sirven para identificar en qué celdas hay mayores discrepancias entre O_ij y E_ij.

   ?`Cuál es el valor del estadístico c<sup>2</sup>? ?`Cuántos grados de libertad tiene? ?`Cuál es el punto crítico del test? ?`Cuál es el p-valor del test? ?`Consideras que es independiente el número de hijos del nivel de estudios?

3. Repite el apartado anterior para 'Hijos' y 'Sexo'. Hazlo después con 'Hijos' y 'Est.Civ.'. ?`Te parecen lógicos los resultados obtenidos? ?`Por qué?

4. Modelo de regresión lineal simple.
   

   Estudiaremos la regresión de 'Precio' frente a 'Renta'. Comenzaremos por hacer un gráfico de dispersión de las dos variables. ?`Crees que hay relación lineal entre las variables? ?`Cuántos compradores hay con renta mayor que la del comprador que compró el coche más caro?

5. Haz ahora el análisis de regresión de 'Precio' frente a 'Renta'. Stat ® Regression ® Regression
   

   Response: Precio, Predictors: Renta
   

   Storage... Fits, Residuals.

   De esta manera los valores ajustados de y (los [^y]_i) y los residuos del modelo ([^e]_i = y_i - [^y]_i) se grabarán en dos columnas contiguas a los datos originales.

   Observa el listado de los casos (x_i,Y_i) que llaman la atención bien porque quedan muy lejos de la recta ajustada (señalados con una R) o bien porque su abscisa x_i está muy lejos de la media [`x] (marcados con una X).

   En promedio, ?`cuánto gastarán en la compra de un coche los trabajadores que ganan 5 millones al año?

6. Escribe el valor de los estimadores de a y b, así como los valores de sus errores estándares. Da intervalos de confianza 95% para a y b.

7. ?`Qué porcentaje de la variabilidad total del precio del coche comprado se explica conociendo la renta de los compradores?

8. Para hacer un gráfico de la recta de regresión ajustada usa la opción Stat ® Regression ® Fitted line plot Indica si los casos que que corresponden a los cuatro compradores con rentas más bajas están por debajo o por encima de la recta de regresión.

9. Análisis de los residuos.
   

   Usa la opción

   Stat ® Regression ® residual plots para verificar que los residuos son aproximadamente normales, que no hay ninguno extremadamente alto y que están incorrelados con los valores ajustados. ?`Crees que los gráficos confirman estas tres cosas?

   Haz después el gráfico de los residuos frente a la variable regresora. Se parece el gráfico (x_i,[^e]_i) al gráfico ([^y]_i[^e]_i)? ?`Por qué?

10. Si hubiéramos expresado las variables Precio y Renta en pesetas, żcuáles serían los valores de los estimadores de los coeficientes de la recta de regresión?

11. Un ejemplo clásico.
    

    Los datos del fichero anscombe.mtw (abre ese fichero) constituyen un ejemplo clásico en regresión simple (ver, por ejemplo, Peña 1995, página 263, de donde hemos extraído los datos).

    Comprueba que las cuatro regresiones

    y(a) sobre x(a,b,c),
    y(b) sobre x(a,b,c),
    y(c) sobre x(a,b,c),
    y(d) sobre x(d), dan lugar a la misma recta (aproximadamente), que el valor del coeficiente de determinación R² es similar en los cuatro casos y que el valor del estadístico t del contraste de H₀:b = 0 es también muy similar en los cuatro casos. Escribe el valor común de [^(a)], [^(b)], R² y t.

12. Haz ahora los gráficos de las cuatro nubes de puntos junto con la recta de regresión ajustada, usando la opción Stat ® Regression ® Fitted line plot Indica para cada conjunto de datos si crees el modelo de regresión es apropiado y, si no es ese el caso, indica por qué no lo crees así.

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