FACULTAT DE CIÈNCIES ECONÒMIQUES I EMPRESARIALS U.P.F.

ESTADÍSTICA Curs 1998-99, segon trimestre

Professors: Jordi Comas, Pedro Delicado i Michael Greenacre.

• [1.] Identify the parameter, statistic and population when they appear in each of the following statements.

  • [(a)] Based on a 5% sample of census data, the average annual income of Spaniards in the 21-35 year age groups is 1.872.300 ptas.
  • [(b)] A survey of 1000 people from minority groups living in Barcelona revealed that 185 were out of work.
  • [(c)] In the second cycle of the ``Llicenciatures ECO & ADE'' at the UPF, three of the four student delegates are from the ``ADE'' business degree.

• [2.] Utilitzeu una taula de nombres aleatoris (o bé el Minitab) per seleccionar una mostra aleatòria simple de mida 3 entre les següents persones. Descriure el procés seguit.
  

  García	Alvarez	Carcoba	Alegre
  Alonso	Escayola	Roca	Canela
  Fernández	Argento	Castellà	Elizalde
  Delgado	Segura	Vidal	Gómez
  Mercader	Guixa	Salvador	Segarra

• [3.] Es fan dues extraccions aleatòries amb restitució del conjunt de números {1,3,3,5}.
  • [(a)] Determina totes les possibles mostres i calcula la mitjana per cadascuna d'elles.
  • [(b)] Determina la distribució de probabilitat [`X].
  • [(c)] Calcula la mitjana i la variància de [`X].
  • [(d)] Calcula la probabilitat que {[`X] > 4}.
  • [(e)] Ara pugem la mida de la mostra a 50. Utilitzant MINITAB, fes un exercici de simulació per estudiar la distribució de la mitjana mostral per 1000 mostres de mida 50 del conjunt inicial.

• [4.] Se sap que el temps de funcionament de les bombetes d'una determinada marca segueix una distribució amb desviació típica de 200 hores.
  • [(a)] Per una mostra de 36 bombetes, quina és la probabilitat que la mitjana mostral excedeix la mitjana poblacional en més de 50 hores?
  • [(b)] Per una mostra de 36 bombetes, quina és la probabilitat que la mitjana mostral disti de la mitjana poblacional més de 80 hores?
  • [(c)] Quin tamany hauria de tenir la mostra per poder assegurar que, amb una probabilitat almenys de 0,05, la mitjana mostral distarà menys de 25 hores de la mitjana poblacional?

• [5.] This is a computer exercise (CENTRAL LIMIT THEOREM). Generate 1000 random numbers from any non-normal continuous distribution, e.g. uniform, chi-squared, exponential or lognormal distribution.
  • [(a)] Plot the distribution of the population.
  • [(b)] Take 200 random samples of size 5 from the population and in each case compute the sample mean and variance. Plot the distributions of the 200 values of the mean and the 200 values of the variance.
  • [(c)] Repeat (b) for samples of size 20.
  • [(d)] Repeat (b) for samples of size 80.
  • [(e)] Comment on the similarities and differences between all these plots.

• [6.] Un dau perfecte es llença a l'aire un total de n vegades. Considerem la variable aleatòria X que indica el resultat obtingut.
  • [(a)]Quin és el valor de E([`X]) per n=3? per n=10 ? per n=50?
  • [(b)]Quin és el valor de Var([`X]) per n=3? per n=10 ? per n=50?
  • [(c)]Quina és la probabilitat que [`X] < 4 en el cas n=50 ?
  • [(d)]Fes un exercici de simulació on verifiquis empíricament els resultats teòrics anteriors.

• [7.] Es llença una moneda perfecta (no trucada) n vegades.
  • [(a)] Quina és la probabilitat d'obtenir entre un 40% i un 60% de cares, per n = 10, n = 100 i n = 1000?
  • [(b)] Quin fet posen en evidència els resultats del apartat anterior? Quin nom rep aquesta llei?

FACULTAT DE CIÈNCIES ECONÒMIQUES I EMPRESARIALS U.P.F.

ESTADÍSTICA Curs 1998-99, segon trimestre

Professors: Jordi Comas, Pedro Delicado i Michael Greenacre.

• [1.] Diez economistas elegidos aleatoriamente dieron las siguientes predicciones del porcentaje del crecimiento del producto interior bruto para el próximo año:

  2.2     2.8     3.0     2.5     2.4     2.6     2.5     2.4     2.7     2.6

  Proponer estimadores puntuales para las siguientes parámetros y calcular el valor que toman en la muestra anterior.
  • [(a)] La media poblacional.
  • [(b)] La varianza poblacional.
  • [(c)] La varianza de la media muestral.
  • [(d)] La proporción poblacional de economistas que predicen un crecimiento del PIB de al menos un 2.5%.
  • [(e)] La varianza de la proporción muestral de economistas que predicen un crecimiento del PIB de al menos un 2.5%.

• [2.] In a car factory a certain item has a population mean width of 50 mm and standard deviation of 2 mm. What is the probability that the mean of a sample of 100 items inspected at random will lie between 49.5 and 50.5 mm?

• [3.] A random sample of 64 business managers is obtained. If 50% of all business managers are older than 45 years, what is the probability that less than 40% of the managers in the sample are older than 45 years.

• [4.] Sigui X₁, X₂, X₃, X₄ una mostra aleatòria de mida 4 d'una població amb distribució exponencial de paràmetre b = E[X_i] desconegut.
  • [(a)] Dels següents estadístics, ?`quins són estimadors no esbiaixats de b?

    T1 = 1 6 (X1 + X2) + 1 3 (X3+X4) T2 = 1 5 (X1 + 2X2 + 3 X3 + 4 X4) T3 = 1 4 (X1 + X2 + X3 + X4)?

  • [(b)] Entre els estimadors no esbiaixats de b, determineu quin és el de variància més petita.
  • [(c)] ?`Quines són les eficiències relatives dels altres estimadors no esbiaixats respecte al de menor variància?
  • [(d)] Compareu també els tres estimadors en termes del seu error quadràtic mitjà (EQM).

• [5.] La media poblacional m de una variable aleatoria ha sido estimada por dos investigadores a partir de dos muestras independientes. En los dos casos se ha usado la media muestral como estimador, denotándose éstas por [`X]<sub>1</sub> y [`X]₂, respectivamente. Se sabe que las varianzas de estos estimadores son 1.5 y 0.9, respectivamente. Un tercer investigador propone usar el promedio de las dos medias muestrales como estimador de m: W = ([`X]<sub>1</sub> +[`X]₂)/2.
  • [(a)] ?`Es W estimador insesgado de m?
  • [(b)] ?`Qué estimador de los tres es más eficiente, [`X]<sub>1</sub>, [`X]₂, o W?
  • [(c)] Encontrar los valores a y b tales que el estimador T = a[`X]<sub>1</sub>+ b [`X]₂ sea insesgado y de mínima varianza.

• [6.] Tenim, a continuació, els histogrames de les distribucions mostrals de quatre estadístics que intenten estimar el mateix paràmetre. La posició del paràmetre poblacional ve referida per una fletxa. Comparant les distribucions entre sí, quina és la distribució amb més i amb menys biaix, i amb més i amb menys variabilitat? Figure

• [7.] En les eleccions presidencials de 1988 als EUA, el candidat George Bush va obtenir la majoria (concretament, un 53.9% dels vots). Si s'hagués realitzat un sondeig d'opinió a una mostra aleatòria de 1000 votants d'aquesta població, quina hauria estat la probabilitat de predir erróneament que no obtindria la majoria?

ESTADÍSTICA Curs 1998-99, segon trimestre

Professors: Jordi Comas, Pedro Delicado i Michael Greenacre.

• [1.]
  • [(a)] Es va dur a terme un sondeig d'opinió a Espanya, i una de les preguntes fetes a una mostra aleatòria de 1500 persones era: ``Us sembla que l'economia millorará el 1998 o no?'' 473 (31,5% de les persones enquestades van dir que si, 967 (64,5%) van dir que no i 60 (4,0%) van dir que no ho sabien. Construiu els intervals de confiança del 95% per a cadascum dels percentatges de les respostes ``si'' i ``no''.
  • [(b)] Per als nou valors de la proporció poblacional de p = 0.1, 0.2,0.3, ... , 0.9, trobeu el marge d'error per a un interval de confiança del 95%, amb una mostra de mida n = 500.

• [2.] Un analista financiero observa que la tasa de rendimiento (en %) de cierto activo es una variable aleatoria normal con desviación estándard 0.1. Los rendimientos observados en las dos últimas semanas fueron:

  2.24,  2.01,  2.02,  1.83,  1.88,  1.99,  2.07,  2.12,  2.23,  2.02

  • [(a)] Hallar un intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza de 95%.
  • [(b)] Manteniendo el mismo nivel de confianza, ?`cuál debería ser el tamaño de la muestra para disminuir el tamaño del intervalo calculado en (a) a la mitad?
  • [(c)] Hallar un intervalo de confianza de la forma [[`X], [`X] +constante] para la media poblacional con un nivel de confianza del 95%.
• [3.] Per tal d'estimar la velocitat mitjana amb que els cotxes acostumen a passar per un punt de control es va enregistrar la velocitat amb que passaren per aquest punt una mostra aleatòria de 40 cotxes. Les velocitats, en Km/h foren:

  49	83	58	65	68	60	76	86	74	53
  71	74	65	72	64	42	62	62	58	82
  78	64	55	87	56	50	71	58	57	75
  58	86	64	56	45	73	54	86	70	73

  Construeix un interval de confiança del 95% per la mitjana de les velocitats dels cotxes (de tota la població) en passar pel punt de control.

• [4.] Un sondeig d'opinió previ a les eleccions revela que 1400 persones d'un total de 2500 seleccionades aleatòriament tenen preferència pel candidat A en front del candidat B.
  • [(a)] Obteniu un interval de confiança del 99% per la veritable proporció de votants a favor del candidat A. Basant-nos en aquest resultat, podríem afirmar que és probable que A guanyi les eleccions? Per què?
  • [(b)] Suposeu que es selecciona aleatòriament una mostra de 225 persones i s'obté la mateixa proporció mostral a favor del candidat A. ?`Són els resultats diferents als de l'apartat anterior?

• [5.] Les empreses d'auditoria seleccionen generalment una mostra aleatòria de clients d'un banc i verifiquen els balanços comptables enviats pel banc. Si una companyia d'aquest tipus vol fer una estimació de la proporció de comptes pels quals existeix una discrepància entre el client i el banc, ?`quants comptes s'hauran de seleccionar per tal que, amb una confiança del 99%, la proporció mostral es trobi a no més de 0.02 unitats de la proporció real?

• [6.] Per tal d'estimar l'edat mitjana de les ruïnes d'Hierakonpolis, als anys 70 es va seleccionar una mostra de 10 trossos de fusta trobats en aquestes excavacions. Se'ls va aplicar la tècnica del Carbono 14 per conèixer la seva edat. Els valors (en anys) forem 4900 4750 4820 4710 4760 4300 4570 4680 4800 4670
  • [(a)] Construir un intreval de confiança del 95% per l'edat mitjana de la població.
  • [(b)] Quines són les hipòtesis utilitzades? Com es justifiquen?

• [7.] Per tal de verificar la robustesa de la distribució t de Student respecte a la hipòtesi de normalitat de la població, genereu 100 mostres aleatòries de mida 10 d'una distribució exponencial amb paràmetre b = 20. Per cada mostra:
  • [(a)] Construir un interval de confiança del 95% per l'estimació de la mitjana. ?`Quants d'aquests intervals contenen el valor poblacional de b = 20?
  • [(b)] Repetiu el procés incrementant la mida de la mostra a 30.
  • [(c)] ?`Hi ha alguna diferència? Comenteu-ho.

• [8.] Amb l'ajut de MINITAB, genera 100 mostres de mida 16 d'una distribució normal amb mitjana m = 15 i desviació estàndard s = 3.
  • [(a)] Per cada mostra, construir un interval de confiança del 95% per m. ?`Quants d'aquests intervals contenen el veritable valor de 15 per m?
  • [(b)] Construir, també, per a cada mostra, un interval de confiança del 95% per la variància poblacional s². Quants d'aquests intervals contenen el veritable valor?
  • [(c)] Aquests resultats estan d'acord amb el que s'esperava?

• [9.] Utilitzant MINITAB, genereu 500 mostres, cada una de mida 25, d'una distribucio normal amb mitjana 7.00 i variància 1.69. Per a cada mostra calculeu la variància i guardeu aquests valors dins un vector. Feu un histograma d'aquests 500 valors de la variància. Ja sabeu la distribucio teòrica d'aquesta variancia mostral - quina és?

  Exercici opcional per als aficionats de MINITAB: feu un gràfic de la distribucio teòrica de la variància mostral en aquest exercici.

• [10.] En el estudio del Coeficiente Intelectual (CI) de jóvenes en edad pre-universitaria en cierta región, se concluyó que dicho coeficiente se distribuye como variable aleatoria normal. Al analizar el CI de 16 jóvenes en esa región se observó una media muestral de 107.2, con desviación estándar de 10.3.
  • [(a)] Hallar un intervalo de confianza para la media del coeficiente intelectual en tal región que tenga 90% de confianza.
  • [(b)] ?`Qué relación hay entre las longitudes de los intervalos de confianza a los niveles de 95% y 90% respectivamente?
  • [(c)] (Opcional) Utilizando MINITAB, hacer un gráfico para la densidad de la variable aleatoria t-student con 15 grados de libertad.

• [11.] During municipal elections in which two parties, CiU i PSC, participate, a voter survey is carried out on 1000 voters selected at random from the voter population. A total of 615 indicate that they will vote for CiU.
  • [(a)] Construct a 95% confidence interval for the percentage of votes that will be obtained by CiU in the election.
  • [(b)] Can CiU be sure of a victory?

• [12.] S'ha introduït un nou formulari de les rendes i el govern vol estimar el percentatge de formularis emplenats incorrectament. Quants formularis haurien de comprovar a l'atzar abans de poder arribar a una estimació amb una precisió (marge d'error) d'un punt percentual? (Si hom no especifica un nivell de confiança, useu el nivell 95%).

• [13.] A partir d'unes dades prèvies sabem que el nivell de pol·lució de l'aire urbà, mesurat amb un índex de pol·lució de 0 a 100, és normalment distribuït amb desviació estàndard de 13 unitats. En un dia bo la pol·lució a la zona és de 25-30 unitats, i en un dia dolent arriba fins 70. Volem estimar la veritable nivell de pol·lució amb una marge d'error no més gran que 10 unitats /és a dir, un interval de confiança no més gran que 20 unitats). Quants mesuraments haurem de prendre?

• [14.] En una prova pilot sobre els efectes d'un nou medicament contra l'al·lèrgia al pol·len, interessa no solament conèixer els efectes que aquest medicament pot produir en mitjana quan s'administri a tota la població sinó també tenir una idea de la seva variabilitat. Per això, s'administra la mateixa dosi a 20 malalts ingressats per un brot d'al·lergia (els malalts s'han ofert voluntaris). Per tal de mesurar la variabilitat de l'efecte preventiu del medicament es pren nota del temps que cada malalt tarda en patir un altre brot al·lergic:

  28     23     13    22    27    20    32    26    25    18

  18    25    33    26    25    28    29    29    19    32

  • [(a)] Doneu una estimació puntual i per intervals de la variància dels efectes d'aquest medicament.
  • [(b)] Especifiqueu l'estadístic utilitzat en aquesta inferència, la seva distribució de probabilitat i les hipòtesis que la sustenten. Reviseu aquestes hipòtesis amb les dades de la mostra.

ESTADÍSTICA Curs 1998-99, segon trimestre

Professors: Jordi Comas, Pedro Delicado i Michael Greenacre.

• [1.] Una peça de recanvi per als frens d'un cotxe té la forma d'un disc amb un diàmetre de 35 mm. En una fàbrica es fa un control de qualitat del procés de fabricació per veure si el diàmetre mitjà dels discos sigui el valor desitjat.
  • [(a)] En aquest cas, quines serien la hipòtesi nul·la i la hipòtesi alternativa?
  • [(b)] La hipòtesi alternativa té una cua o dues?
  • [(c)] Expliqueu l'error de tipus I i l'error de tipus II en aquesta situació.
  • [(d)] Ara s'agafa una mostra de 40 discos i es calcula la mitjana dels diàmetres com 35.05 mm, i una desviació estàndard de 0.12 mm. Calculeu el p-valor i fes un comentari sobre l'actual qualitat de la producció.

• [2.] The percentage of young women under 25 years that smoke was estimated to be 45% in 1996, a fact which has caused great concern in Spain. So health authorities have launched an advertising campaign warning against the dangers of smoking. After this campaign, a marketing research company is asked to do a survey to find out whether the percentage has dropped.
  • [(a)] In this case, what would be the null and alternative hypotheses?
  • [(b)] The alternative hypothesis is one-tailed or two-tailed?
  • [(c)] Explain the type I error and the type II error in this situation.
  • [(d)] During one of its regular surveys of women in this age group, the marketing research company asks each one whether she smokes or not. Out of the 1600 women questioned, 656 say that they smoke. Calculate the P value for testing the null hypothesis. Do you think the percentage can still be as high as 45%?

• [3.] Una compañía de seguros de vida quiere saber si el tiempo de vida medio de un individuo no es inferior a 65 años.
  • [(a)] ?`Cuáles son las hipótesis nula y alternativa?
  • [(b)] Suponga que el tiempo de vida es una variable aleatoria normal con desviación estándar de 3.4 años. Se toma una muestra de 50 casos y la media muestral del tiempo de vida resultó 64.2. ?`Cuál es el valor P para contrastar la hipótesis nula?
  • [(c)] Independientemente un analista propone evaluar la afimación diciendo: ``Si la media muestral de los tiempos de vida observada en una muestra de 50 casos es inferior a 63, la afirmación es falsa". ?`Cuál es el nivel de significación que tiene el método que él propone?

• [4.] En el control del procés de producció d'un cert preparat farmacèutic es considera que el procés està ``sota control'' si la taxa (proporció) de contaminants no supera el 1/1000. Sota la sospita d'un increment en aquesta proporció, s'examina un lot de 7000 unitats. S'analitza una per una i es fa el recompte de les unitats contaminades.
  • [(a)] Calculeu el nombre esperat d'unitats contaminades per aquest lot suposant que el procés està ``sota control".
  • [(b)] Especifiqueu la hipòtesi nul·la i la hipòtesi alternativa per contrastar si el procés està ``sota control".
  • [(c)] Determineu l'estadístic de contrast i la seva distribució de probabilitat. Calculeu la probabilitat d'obtenir exactament una unitat contaminada, exactament dues, dues com a molt. (Nota: podeu utilitzar l'aproximació normal de la llei binomial, però amb MINITAB podeu calcular les probabilitats binomials exactes).
  • [(d)] Si en el lot seleccionat s'han trobat 12 unitats contaminades, calculeu el valor P corresponent. A quina conclusió arribeu?

• [5.] Es coneix que el tractament ``habitual'' per a una certa malaltia té una durada mitjana de quinze dies. Un grup de metges afirma que ha descobert una nova teràpia que redueix el nombre de dies de tractament. Per tal de contrastar aquesta afirmació s'aplica la nova teràpia a 70 pacients i es comptabilitza el temps de tractament necessari en cada cas.
  • [(a)] Formuleu les hipòtesis nul·la i alternativa i determineu la zona de rebuig del test per a un nivell de significació de a = 0.05.

  • [(b)] Si la mitjana de la mostra és de 14.5 dies i la desviació estàndard mostral és s = 3.0 dies, quina és la conclusió del test?

  • [(c)] Calculeu el valor-p i interpreteu-lo. El valor observat de la mitjana mostral contradiu la hipòtesi que la població continua tenint una mitjana de quinze dies de tractament?

  • [(d)] De quina població o poblacions parlem tota l'estona?

• [6.] El rendiment d'una reacció química es distribueix segons una llei normal de mitjana 0.7 i desviació estàndard 0.01. S'afegeix un additiu a la reacció, es fa una prova i s'obté un rendiment de 0.713.
  • [(a)] Podem afirmar que l'additiu millora la reacció?

  • [(b)] El director del departament de R+D no està satisfet amb el resultat anterior i decideix realitzar 100 proves de la reacció. S'obté, aquest cop, un rendiment mitjà de 0.710. Podem afirmar, ara, que l'additiu millora el rendiment de la reacció? Per què?

• [7.] A partir d'una mostra de 70 llaunes d'un refresc de cola s'analitza el contingut de cafeïna. Els resultats donen una mitjana igual a 57.8 i una s = 7.3. Contrasteu les hipòtesis següents per a un nivell de significació igual a 0.1:

  H0 : m ³ 60, H1 : m < 60.

• [8.] A partir de les dades de l'exercici anterior, contrasteu les hipòtesis següents amb un nivell de significació de 0.1:

  H0 : m = 60, H1 : m ¹ 60.

• [9.] En cadascuna de les situacions següents especifiqueu en paraules i utilitzant els paràmetres corresponents quina és la hipòtesi nul·la, quina és la hipòtesi alternativa, com calcularíeu l'error de tipus I, l'error de tipus II i la potència del test:
  • [(a)] Una organització de consumidors decideix provar una mostra de cotxes d'una marca nova en el mercat per tal de contrastar si, tal com diu el fabricant, el seu consum mitjà en autopista és de 8.3 litres per cada 100 km.

  • [(b)] El Departament de Medi Ambient d'un govern analitza els efectes d'un gas tòxic en el percentatge de plantes de blat mortes en una determinada zona. Els investigadors volen saber si hi ha evidència suficient per rebutjar que hi han mort el 25%, com és habitual amb aquest gas, o si ha estat superior aquest cop el nombre de plantes mortes.

  • [(c)] Un sociòleg té la hipòtesi que, actualment, hi ha una correlació negativa entre l'edat i el percentatge de votants per cada edat.

• [10.] Una companyia vol contrastar si aquest any les factures que emet tenen una mitjana poblacional igual a 10.000 ptes., com les de l'any passat. D'una mostra aleatòria de cinc factures, s'obté els valors següents : 4.976, 1.080, 20.764, 78.895 i 1.452 ptes. Contrasteu la hipòtesi nul·la. Expliciteu les hipòtesis utilitzades per poder aplicar el test.

• [11.] Hem tirat 50 vegades un dau i hem obtingut els valors següents:

  4	1	1	1	3	6	1	2	6	1	5	5	6	5	2	3	4	6	5	5	3	2	5	2	4
  2	3	6	6	3	1	4	3	6	2	5	6	2	2	5	6	3	6	6	1	3	1	6	1	3

  Utilitzeu un contrast de mitjana poblacional per investigar la hipòtesi que el dau no està trucat.

• [12.] Una organització de la salut està interessada a actualitzar la seva informació sobre la proporció d'homes que fumen. Basant-se en estudis anteriors es creu que aquesta proporció és del 40%. L'organització prepara una enquesta. Es seleccionen 1200 homes a l'atzar i se'ls pregunta pels seus hàbits. Dels 1200, 420 són fumadors. Creieu que aquestes dades abonen la idea que la proporció d'homes que fuma és diferent del 40%? Utilitzeu un nivell de significació a = 0.01.

• [13.] Una màquina produeix làmines de plàstic. L'heterogeneïtat de la matèria primera provoca una variabilitat inevitable en el gruix d'aquestes làmines. Ara bé, si la desviació estàndard del gruix supera els 1.5 mm, cal sospitar d'un canvi en la qualitat de la matèria primera. Es mesuren els gruixos de deu làmines i els resultats són: 226, 228, 226, 225, 232, 228, 227, 229, 225, 230.
  • [(a)] Les dades confirmen que la variabilitat del procés ha superat el nivell indicat anteriorment? (Realitzeu un test de a = 0.05).

  • [(b)] Esmenteu totes les hipòtesis que feu sobre la població i el mètode de selecció de la mostra abans d'aplicar el test.
• [14.] Amb les dades de l'exercici 1 construïu un interval de confiança del 90% per a l'estimació de la desviació estàndard poblacional del gruix de les làmines. Construïu també un interval de confiança del 90% per l'estimació de la mitjana poblacional del gruix de les làmines.

• [15.] El portaveu del Ministeri d'Educació ha dit per televisió que el sou mitjà dels professors de les escoles públiques és al voltant de 2.7 milions de pessetes anuals. El diari Demá vol publicar un article criticant el ministeri i dient que els sous són més baixos. Es fa una enquesta, a l'atzar, a 105 professors i resulta que 63 (un 60%) tenen sous inferiors a aquest valor. Un periodista et demana què en pensas de l'anunci del Ministeri. Què li contestaries?

ESTADÍSTICA Curs 1998-99, segon trimestre

Professors: Jordi Comas, Pedro Delicado i Michael Greenacre.

• [1.] Les dades següents són els resultats de medir el ritme del pols de cinc nens abans i després de veure un determinat programa de televisió:

  Nen	Abans	Després
  1	96	104
  2	102	112
  3	108	112
  4	89	93
  5	85	89

  Es podria dir que aquest programa de televisió augmenta el ritme del pols dels nens?

• [2.] Es demana a sis estudiants que tastin dos postres de iogurt, un d'ells un iogurt normal i l'altre un nou iogurt estil ``mousse". Els estudiants qualifiquen els iogurts en una escala de 1 a 5, on 1 significa ``no m'agrada gens'' i 5 significa ``m'agrada molt". Les puntuacions són les següents:

  Estudiant	iogurt ``mousse''	iogurt normal
  Xavier	3	2
  Montse	5	4
  Marta	3	1
  Jaume	5	5
  Pau	2	1
  Mercè	4	3

  Suposant que les poblacions tenen distribució normal, volem saber si hi ha alguna preferència significativa a favor del nou iogurt ``mousse'' (test d'una cua). Quina és la conclusió per un nivell de significació del 5%?

• [3.] Un cable elèctric es fabrica de dues maneres. Es vol saber si el tipus de procés seguit en la fabricació afecta la mitjana de resistència a la ruptura del cable. Es realitzen proves en el laboratori sotmetent els cables a tensió i anotant les càrregues necessàries per arribar a trencar-los. Suposem que les dues mostres aleatòries d'un i altre procés són independents i extretes de dues poblacions normals i amb la mateixa variància.
  • [(a)] Analitzeu les dades experimentals següents:

    Mostra	Mida	Càrrega mitjana(kg)	Variàcia mostral
    X	6	20.5	4.5
    Y	7	28.0	9.0

  • [(b)] Què suggereixen?

• [4.] Un educador creu que un nou mètode basat en una sèrie d'activitats de lectura pot millorar les habilitats lectores dels seus alumnes. Per això decideix que la classe de primer A segueixi aquest mètode durant vuit setmanes, mentre que la classe de primer B actuarà com a grup de control sense aquestes activitats. A la fi de les vuit setmanes tots els estudiants passen una prova test per mesurar les habilitats de lectura que el nou mètode assegura que millora. Els resultats han estat els següents: Grup de tractament
  24 56 43 59 58 52 71 62 43 54 49 57 61 33 44 46 67 43 49 57 53

    Grup de control
  42 46 43 10 55 17 26 60 62 53 37 42 33 37 41 42 19 55 54 28 20 48 85

  • [(a)] Les dades ens donen evidència d'una millora? Per què?

  • [(b)] Creieu que el disseny d'aquest experiment és l'ideal? Es compleixen totes les hipòtesis necessàries per realitzar la comparació de tractaments? Amb quines limitacions es devia trobar el professor, i com creieu que les va intentar resoldre?

• [5.] Un inversor desitja comparar els riscos associats a dos mercats de valors diferents, A i B. El risc d'un mercat es mesura per la variació en els canvis diaris dels preus. L'inversor pensa que el risc associat al mercat B és més gran que l'associat al A. S'obtenen mostres aleatòries de 21 canvis de preus diaris per al mercat A i de 16 per al mercat B. Els resultats són els següents:

  Mercat A	Mercat B
  mitjana = 0.3	mitjana = 0.4
  sA = 0.25	sB = 0.45

  • [(a)] Suposant que les mostres provenen de dues poblacions normals i han estat escollides independentment, creieu que les dades abonen la idea de l'inversor? Utilitzeu un nivell de significació a = 0.05.

  • [(b)] Si la variància mostral de A és la donada, quin seria el valor màxim de la variància mostral de B, per a n = 16, que ens duria a rebutjar la hipòtesi nul·la de l'apartat (a)?

• [6.] Volem fer un estudi comparant la simplicitat i l'eficàcia dels programes MacAnova i Minitab per a fer simulacions. Demanem a cadascún dels 10 estudiants d'una mostra que facin simulacions, una amb MacAnova i l'altra amb Minitab, i mesurem el temps que necessitem en els dos casos. (La simulació és la següent: (i) generar 10.000 mostres de mida 50 d'una distribució normal de mitjana 10 i desviació estàndard 3; (ii) per cada mostra, calcular la variància mostral; (iii) fer un histograma de les 10.000 variàncies obtingudes; i (iv) comprovar que la mitjana de les 10.000 variàncies s'apropi al valor teòric de 9).

  Els resultats són els següents:

  ccc
  Estudiant MacAnova Minitab
  
  

  A 7.2 8.1
  B 6.4 7.2
  C 8.8 8.5
  D 7.6 8.5
  E 6.8 7.9
  F 5.9 6.4
  G 9.0 9.5
  H 7.8 8.5
  I 6.3 7.1
  J 7.0 8.2

  • [(a)] Amb aquestes dades feu el contrast per a determinar si hi ha una diferència entre el temps mitjà utilitzant els dos programes.
    

    (Comentaris: - Com sempre, doneu els supòsits necessaris per tal de realitzar el contrast. - Si el nivell de significació no està especificat, utilitzeu un nivell de a = 0.05. - Podeu fer la simulació amb MINITAB com un exercici suplementari per mirar quant temps trigueu a fer-ho!.)

  • [(b)] Construïu un interval de confiança del 95% per a la diferència del temps mitjà.

• [7.] Es realitza un estudi sobre la situació actual de les empreses de serveis, els canvis que comportarà la integració al mercat únic europeu i els plans elaborats per facilitar aquesta integració. Hi han indicis per pensar que la situació no és la mateixa en les diferents regions europees. De les 250 empreses de serveis enquestades a la regió A, 95 tenien preparat un pla d'adaptació. A la regió B, 56 de 240.
  • [(a)] Creieu que les dades evidencien que la proporció d'empreses de serveis que tenen enllestit un pla d'adaptació és mes alta en la regió A que en la regió B? (Utilitzeu un nivell de significació de 10%, es a dir

    a = 0,10).

  • [(b)] En el cas de que la diferència resulti significativa, construïu un interval de confiança del 90% per a la diferència de percentatges. Quina informació es deriva d'aquest interval?

• [8.] Los consumos (per-cápita) de vino en las provincias A y B son variables aleatorias independientes que pueden ser consideradas con distribución normal posiblemente con diferentes medias pero con la misma varianza. La media muestral de 20 individuos en la provincia A es 0.327 litros por dia (l.p.d.) y su desviación estándar 0.022 l.p.d.. En la provincia B una muestra de 25 individuos dio una media muestral de 0.302 l.p.d. con desviación estándar de 0.035 l.p.d..
  • [(a)] Se quiere analizar si ellas tienen el mismo consumo medio de vino por día o no. Contrastar estas hipótesis con un nivel de significación de 5%.

  • [(b)] Con los datos dados, contrastar la hipótesis de la desviación estándar poblacional ser igual a 0.020 l.p.d. con la hipótesis de ser diferente de este valor (use nivel de significación 5%).

• [9.] En la pregunta 3, havíeu de suposar que les variàncies de les dues poblacions eren iguals, per satisfer a les presumpcions del contrast. Per a verificar aquest supòsit, contrasteu la hipòtesi que les variàncies poblacionals siguin iguals, al nivell de confiança de a = 0.10.

• [10.] Suposem que els estudiants de Biologia, d'Economia, de Sociologia, de Meteorologia i de Pedagogia seguissin el mateix curs introductori d'Estadística i volguéssim comparar el seu grau de coneixement adquirit a la fi del curs. Amb aquest objectiu passaríem un examen-test de comprensió d'estadística bàsica. Després, utilitzaríem t-tests per comparar cada parella d'estudis, Biologia amb Economia, Biologia amb Sociologia, i així amb totes les possibilitats (en aquest cas deu t-tests). Simuleu amb MINITAB aquest estudi suposant que hi havia vint estudiants en cada branca i que les puntuacions de l'examen seguien una distribució normal de mitjana sis i desviació estàndard u. Genereu una mostra d'aquesta distribució per als estudiants de Biologia i guardeu-la a C1, genereu-ne una altra per als d'Economia i guardeu-la a C2,.. i així amb tots els estudis.
  • [(a)] Quina és la hipòtesi nul·la?
  • [(b)] Què representen les parelles d'estudis?
  • [(c)] Realitzeu els deu t-test i per a un nivell de significació de a = 0.1.
  • [(d)] En quants d'aquests tests heu rebutjat la hipòtesi nul·la?
  • [(e)] En el nostre cas l'estudi ha estat simulat: la situació era coneguda, no hi havia diferències entre les carreres. Però, és probable que algun dels tests realitzats donés una diferència significativa. Aquest fet il·lustra el que pot passar en fer una sèrie de tests de comparacions. Penseu en altres situacions en que es podrien dur a terme una sèrie de comparacions. Què podria passar?

ESTADÍSTICA Curs 1998-99, segon trimestre

Professors: Jordi Comas, Pedro Delicado i Michael Greenacre.

• [1.] Un producto adelgazante provoca una pérdida de peso que es una variable aleatoria normal con media 8.5 kg. y desviación estándar 1.5 kg. La industria que lo fabrica añade al producto un nuevo componente químico que debería aumentar la media del peso perdido. Se tomó una muestra de 10 individuos y se observó la pérdida de peso que tuvo en cada uno de ellos con los siguientes resultados:

  12.15     7.84     9.52     8.14     9.83     8.40     9.96     7.84     9.92     7.90.

  • [(a)] Para un nivel de significación a de 5% elaborar y contrastar las hipótesis correspondientes al análisis que la industria quiere hacer en relación a la media poblacional del peso perdido. Calcular también la potencia del contraste para los siguientes valores de la media del peso perdido:

    m = 8.7,  8.9,  9.1.

  • [(b)] Si se quiere controlar los dos tipos de error de manera que a=5% y b=10%, ?`cuántos individuos se deberá tomar en la muestra para una m=8.9?

  • [(c)] En la misma situación (muestra de una distribución normal, de tamaño n = 10, desviación estándar 1.5 kg), calcular la probabilidad del error de tipo II , b, cuando la media m = 8.9, para cada uno de los valores siguientes valores de a = 0.10,  0.05,  0.01.

  • [(d)] Utilizando el MINITAB, hacer un gráfico que muestre la relación entre los errores de tipo I y II, para una muestra de tamaño n = 10 con m = 8.9 y s = 1.5.

• [2.] It is claimed that a new fuel additive improves the fuel consumption of cars and an experiment is conducted to test this claim. Twelve cars are driven under controlled conditions and the distance is measured for each car using 10 litres of fuel without the additive and 10 litres of fuel with the additive. The results are as follows (distances in kilometers):

  
  Car
                        1    2    3    4    5    6    7    8    9   10   11   12
  ------------------------------------------------------------------------------
  Without additive    152  166  137  147  136  140  130  163  160  122  147  124
  With additive       154  158  150  154  130  145  147  160  168  132  151  136
  ------------------------------------------------------------------------------
  
  

  • [(a)] Since it is reasonable that the fuel additive will lead to a percentage change in fuel comsumption, calculate the percentage increase in fuel consumption for each car (decreases are negative percentages, clearly).

  • [(b)] Using the nonparametric sign test, test whether the additive has led to a significant increase in fuel consumption (at the usual 5% level of significance). Calculate the exact P-value of the test.

  • [(c)] Assuming that the percentage increases are normally distributed, perform the corresponding parametric test, again calculating the P-value, and then compare your results and conclusion with those obtained by the sign test.

• [3.] At a campsite on the Costa Brava, a survey of a random sample of tourists gave the following data set of length of stay at the campsite in days: 2   1   8   2   1   1   4   1   2   16   3   1   42   1   5
  • [(a)] Compute the mean and the median of the data. Comment on the differences between these two results.
  • [(b)] Afterwards we realize that the value 42 in the above data was incorrectly recorded and it should have been two values of 4 and 2. Recompute the mean and median with the corrected data and comment on the results.

• [4.] Quan la llum polaritzada es fa passar a través de alfa-lactosa (una varietat de sucre), la llum gira un angle de 90^o. Un químic industrial va realitzar 6 mesures independents de l'angle de rotació de la llum en travessar un sucre desconegut. 89.8,   91.0,   91.2,   91.7,   93.3,   93.6
  • [(a)] Quin és el valor p per la hipòtesi que el sucre desconegut és alfa-lactosa?
  • [(b)] Quin és el valor p per la hipòtesi que es tracta de D-xylosa, l'angle de rotació de la qual és de 92^o?

• [5.] Dos inspectors avaluen el servei de 6 restaurants en una escala de 0 a 5. Es pot dir que els dos inspectors donen una avaluació diferent? Calculeu el valor p del test del signe. Avaluació del servei
  c|cc Restaurant Crític 1 Crític 2
  1 6.1 7.3
  2 5.2 5.5
  3 8.9 9.1
  4 7.4 7.0
  5 4.3 5.1
  6 9.7 9.8

• [6.] En la taula següent es presenten les vendes d'un nou estri corresponents a 12 ferreteries en un mateix mes. Es desconeix la forma de la distribució de la variable vendes i per això, en aquest cas, no resulta adient una prova estadística paramètrica, considerant també el tamany petit de la mostra.

  Calculeu el valor p del test del signe per contrastar la hipòtesi que la mediana de les vendes en la població de ferreteries és superior a deu unitats.

  Nombre d'estris venuts per ferreteria:
  8   18   9   12   10   14   16   7   14   11   10   20

• [7.] Dos gastrònoms van classificar 12 plats en una escala de 1 a 10. Les dades són les següents c|ccc ccc ccc ccc Plats 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
  Gastrònom A 6 4 7 8 2 7 9 7 2 4 6 8
  Gastrònom B 8 5 4 7 3 4 9 8 5 3 9 5 Proporcionen les dades evidència suficient per indicar que un dels gastrònoms tendeix a donar puntuacions més altes que l'altre? Calculeu el valor p del test del signe.

• [8.] En un colegio se selecciona una muestra aleatoria de estudiantes y se les pregunta por el número de horas que estuvieron viendo la televisión durante la última semana. Los resultados en horas son 5   19   7   8   9   6   20   7   5   0
  • [(a)] Calcular la mediana de estos datos.
  • [(b)] Calcular el p-valor del test del signo para contrastar la hipótesis de que la mediana poblacional del número de horas semanales dedicadas a ver la televisión es 10.

ESTADÍSTICA Curs 1998-99, segon trimestre

Professors: Jordi Comas, Pedro Delicado i Michael Greenacre.

• [1.] Applicants to the graduate program of the UPF in 1996 consisted of 65 males and 48 females.
  • [(a)] Using a chi-square test, test whether the number of male applications is significantly different from the number of female applications.

  • [(b)] Test the same hypothesis with the test of a proportion, using the normal approximation to the binomial distribution.

  • [(c)] Verify that the value of the test statistic in (a) is the square of that in (b), so that the two tests are equivalent. (N.B. This again illustrates the fact that the square of a standard normal variable is a chi-squared variable with 1 degree of freedom).

• [2.] Un investigador de mercats vol fer una valoració sobre la preferència dels consumidors entre quatre diferents colors en una marca de rentadora domèstica. En la taula següent s'apunten les freqüències observades d'una mostra aleatòria de 198 vendes recents: l|cccc|c Color gris marró blanc blau Total
  Freqüència 61 55 41 41 198 Fes un test per la hipòtesi nul·la que els quatre colors són igualment populars. Treballa amb un nivell de significació de a = 0.05.

• [3.] In 600 tosses of a die (un dau) the following results are obtained: cc i n_i
  1 45
  2 116
  3 96
  4 94
  5 137
  6 112 Is there evidence that the die is loaded? (Perform a test at the a = 0.05 significance level).

• [4.] En els anys anteriors, l'examen d'Estadística ha donat els resultats següents: 13.8% dels estudiants superen amb excel·lent o matrícula d'honor, 21.5% amb notable, 37.4% amb aprovat, i 27.3% no l' aproven o no es presenten. Aquest any, dels 320 estudiants que han fet l'examen, 48 tenen un excel·lent o matrícula d'honor, 86 un notable, 102 un aprovat, i 84 no l'aproven o no es presenten. Feu una prova khi-quadrat, al nivell del 10%, per constatar si aquests resultats segueixen el perfil dels anys anteriors o no.

• [5.] La següent taula ens dóna el nombre de gols per partit marcats per un determinat equip de futbol: l rrr rrr rr Nombre de gols per partit 0 1 2 3 4 5 6 7
  Nombre de partits 14 18 29 18 10 7 3 1
  • [(a)] Calculeu la mitjana d'aquesta distribució i les freqüències (amb dos decimals) associades a la distribució de Poisson que té aquesta mitjana.

  • [(b)] Creieu que és raonable modelitzar la distribució observada amb una llei de Poisson?. Especifiqueu la hipòtesi nul·la a contrastar, l'estadístic de contrast que utilitzeu, la seva distribució de probabilitat i les conclusions a que arribeu.

  (N.B. En la prova khi-quadrat, el nombre de graus de llibertat és el nombre de categories n menys un. Quan estimem els paràmetres d'una distribució i després fem una prova de la bondat de l'ajust, el nombre de graus de llibertat es veu reduit a més pel nombre de paràmetres estimats).

• [6.] Enregistra els 4 dígits finals dels 30 primers números de telèfon d'una pàgina seleccionada aleatòriament d'un llistí telefònic. Realitza un test de la bondat de l'ajust per provar si la distribució de freqüències dels dígits és la distribució uniforme discreta.

• [7.] A random sample of 1000 inhabitants of a city is selected to study the difference between men and women in terms of their participation or non-participation in the past elections. The results are summarized in the following table of frequencies: l|cc Men Women
  Voted 270 350
  No voted 179 201 Perform the chi-squared test wich tests the hypothesis of independence between the rows and columns of the table (use a 0.05 level significance).

• [8.] In a six month period four Californian cities had the following frequencies of three selected crimes: l|ccc MURDER RAPE ARSON
  Berkeley 7 36 28
  Oakland 44 192 208
  San Francisco 63 294 209
  San José 13 214 514 Test the hypothesis that the cities have the same incidence of crime.

• [9.] En una inspecció dels seus publicistes, una cadena de diaris va seleccionar aleatòriament 100 lectors de cadascun dels seus 3 diaris més llegits, amb els següents resultats: l|ccc
  Classe social A B C
  Pobre 31 11 12
  Mitja-baixa 49 59 51
  Mitja 18 26 31
  Rica 2 4 6
  • [(a)] Enuncia la hipòtesi nulxla en paraules.
  • [(b)] Calcula l'estadístic khi-quadrat i el valor p per H₀. ?`La diferència entre els diaris, és discernible al nivell de significació del 0.001?

• [10.] En un estudi de mercat s'escullen aleatòriament 300 famílies que han comprat una rentadora recentment. L'interès de l'estudi rau en la relació entre el nombre de membres de la familía i la capacitat de la rentadora adquirida. Els resultats es resumeixen en la taula següent: c | ccc Capacitat de la
  rentadora (kg de
  càrrega) 1-2 3-4 5 o més
  4 kg 25 37 8
  5 kg 10 62 53
  6 kg 5 41 59
  • [(a)] Descriu la hipòtesi nul·la i l'alternativa per contrastar la possible relació entre la capacitat de la rentadora i el nombre de membres de la família.
  • [(b)] Contrueix la taula de freqüències esperades sota la hipòtesi nul·la, corresponent a les dades anteriors.
  • [(c)] Fes el test apropiat, detallant els càlculs que et porten al valor de l'estadística.
  • [(d)] Quina és la teva conclusió si treballes amb un nivell de significació a = 0.05?

ESTADÍSTICA Curs 1998-99, segon trimestre

Professors: Jordi Comas, Pedro Delicado i Michael Greenacre.

• [1.] Dotze parcel·les de terreny es distribueixen aleatòriament en tres grups. Als dos primers grups se'ls hi aplica el fertilitzant A i B, respectivament, mentre que el tercer grup de parcel·les es considera com a unitat de control sense aplicar-li cap fertilitzant. Els resultats de la collita es mostren a continuació: ccc A B C
  75 74 60
  70 78 64
  66 72 65
  69 68 55 Analitzeu els resultats. Es pot parlar de diferències significatives entre els tractaments aplicats?
  • [(a)] Construiu una taula ANOVA i calculeu el p-valor per la hipòtesi nul·la.
  • [(b)] Repetiu l'apartat anterior amb l'ajut de MINITAB.

• [2.] Per tal d'analitzar el nivell salarial a una universitat dels EEUU a l'any 1969, s'agafà una mostra aleatòria de professors i professores. Els salaris anuals (en milions de pessetes) obtinguts a partir de la mostra son els següents: cc Homes Dones
  5 3
  5 5
  4 4
  3.5 3
  7 5
  • [(a)] Construiu una taula ANOVA i calculeu el p-valor per la hipòtesi nul·la.
  • [(b)] Repetiu l'apartat anterior amb l'ajut de MINITAB.
  • [(c)] Interpreteu els resultats.

• [3.] Suposse that a survey of three national forest in Catlunya resulted in the following basic statistics, based on the heigts of randomly selected trees: lccc Forest 1 Forest 2 Forest 3
  Average heigt
  in feet 60.2 82.5 73.4
  Standard deviation 11.2 19.0 15.5
  Sample size 493 810 335
  • [(a)] What additional information would you need in order to tell whether it could be valid to do a one-way anlysis of variance for these data?
  • [(b)] Compute the grand average.
  • [(c)] Compute the average square between groups and its degrees of freedom.
  • [(d)] Compute the average square within groups and its degrees of freedom.
  • [(e)] Compute the F-value.
  • [(f)] Find the appropiate critical value from the F-tables ( a = 0.05).

• [4.] En un taller de fabricació de molles es proven els efectes de tres pintures diferents en la capacitat d'allargament resultant. Es selecciona una mostra aleatòria de 30 molles. Se'n fan tres parts. Es pinten les molles de cada part amb una pintura diferent. Més tard es prova la capacitat d'allargament de les molles. Els resultat són: l*10c Pintura A: 0.38 0.26 0.41 0.33 0.33 0.37 0.54 0.76
  Pintura B: 0.53 0.35 0.38 0.45 1.09 0.46 0.57 0.46 0.39 0.74
  Pintura C: 0.51 0.63 0.46 0.47 0.42 0.45 0.41 0.39
  • [(a)] Creieu que el tipus de pintura influeix en l'allargament de les molles? Per què? En tenim prou evidència a partir de les dades?

  • [(b)] Realitzeu els gràfics que considereu convenients per tal d'analitzar les dades i comprovar les hipòtesis necessàries.

  • [(c)] Utilitzeu MINITAB per fer l'anàlisi de la variància corresponent. Quina és la hipòtesi nulxla?

• [5.] Se mide el pulso de 13 estudiantes elegidos aleatoriamente. De ellos, seis son fumadores. Los datos obtenidos son los siguientes (en pulsaciones por minuto). l*7c Fumadores: 62 66 90 90 70 68
  No fumadores: 64 58 65 74 84 68 62 Se supone que estas muestras provienen de distribuciones normales con la misma varianza. ?`Se puede concluir que el número medio de pulsaciones por minuto es mayor en los fumadores que en los no fumadores? (Hacer el contraste con un nivel de significación de a = 0.10).

ESTADÍSTICA Curs 1998-99, segon trimestre

Professors: Jordi Comas, Pedro Delicado i Michael Greenacre.

• [1.] Les dades següents relacionen la temperatura d'ebullició de l'aigua (en graus centígrads), amb la presió baromètrica (en mm de mercuri), i van ser preses pel físic escocès Forbes l'any 1857 als Alps i a Escòcia. l rrr rrr Presió (mm) 768 769 770 773 774 775
  Temperatura (^oC) 93.8 94.1 95.3 98.1 99.3 99.9
  • [(a)] Feu una gràfica de les dades, posant ``Presió'' com l'eix vertical i ``Temperatura'' com l'eix horitzontal
  • [(b)] Calculeu el coeficient de correlació, r, entre les dues variables.
  • [(c)] És significatiu o no? (al nivell de (=0.05).

• [2.] Ompliu aquesta taula amb les grandàries de mostra n necessàries per què el coeficient de correlació r sigui significatiu. c|ccc cc r 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
  n

• [3.] A continuació tenim les puntuacions obtingudes per un grup d'estudiants en una examen de mig termini i l'examen final d'Estadística. l *15r MT 81 75 71 61 96 56 85 18 70 77 71 91 88 79 77
  EF 80 82 83 57 100 30 68 56 40 87 65 86 82 57 75
  • [(a)] Dibuixa el diagrama de dispersió de les dades. Identifica les dades ätípiques'' (outliers).

  • [(b)] Calcula el coeficient de correlació lineal entre unes i altres notes i interpreta el seu valor.

  • [(c)] Si té sentit, localitza ``a ull'' la recta que millor ajusta els punts del gràfic.

  • [(d)] Determina la recta d'ajust pel mètode dels quadrats mínims.

  • [(e)] Un estudiant del mateix grup va obtenir una puntuació de 80 en el primer examen. No es va poder presentar a l'examen final. A la vista del comportament del grup, quina nota creieu que podia esperar en l'examen final? Com s'interpreta aquest valor?

• [4.] En la següent taula tenim cinc parells de valors (x, y). Suposem que es tracta d'una mostra aleatòria d'una població bivariant: c rrr rr x 1 2 3 4 5
  y 0.9 2.1 2.4 3.3 3.8
  • [(a)] Calcula els estimadors mínim quadràtrics b₀ i b₁. Estima també la variància s² de l'error.

  • [(b)] Contrasta les següents hipòtesis per a = 0.05

    ì í î H0 : b1 = 1 H1 : b1 ¹ 1

  • [(c)] Estima el valor esperat de y que correspon a x = 3.5.

  • [(d)] Calcula un interval de confiança del 90% per b₀.

• [5.] S'ha extret una mostra aleatòria dels ingressos anuals i els estalvis de 4 families. ccc familia ingressos anuals estalvis
  (milers de pessetes)
  A 3300 300
  B 2700 300
  C 2550 240
  D 4050 480

  Es demana:

  • [(a)] Dibuixar el núvol de punts.

  • [(b)] Relacionar els ingressos anuals X i els estalvis Y mitjançant el model

    Y = a+bX + e.

  • [(c)] Construir un interval de confiança del 95% pel pendent.

  • [(d)] Quina de les hipòtesis següents pot ser rebutjada am un nivell de significació del 5%:

    b = 0,  b = 0.05,  b = 0.10,  b = 0.50.

• [6.] Una companyia posa a la venda un nou equip de so en vuit regions del país assignant preus diferents segons la regió. La taula següent recull el preu (en milers de ptes) i el nombre d'unitats venudes en cada cas: l rrr rrr rr Preu 55 60 65 60 50 65 45 50
  Vendes 420 380 350 400 440 380 450 420
  • [(a)] Feu un diagrama de dispersió per mostrar la relació entre el preu per unitat i el nombre d'unitats venudes. Quina és la variable explicativa? Quin tipus de relació s'observa?

  • [(b)] Calculeu la covariància entre ``preu'' i ``vendes'' i el coeficient de correlació lineal.

  • [(c)] Estimeu la recta de regressió de les vendes sobre el preu. Situeu aquesta recta en el gràfic anterior.

  • [(d)] Quin percentatge de la variància en les vendes pot ser explicada per la relació lineal amb el preu unitari?

  • [(e)] Què entenem per ``la vertadera'' recta de regressió en el context d'aquest problema? Quina interpretació té en aquest context el pendent de la vertadera recta de regressió?

  • [(f)] Contrasteu la hipòtesi nul·la H₀ : b = 0 pel pendent de la ``vertadera'' recta de regressió.

  • [(g)] Trobeu un interval de confiança del 95% per l'estimació del pendent de la ``vertadera'' recta de regressió.

  • [(h)] Quin efecte s'esperaria en les vendes si es decidís incrementar el preu en 10 000 ptes?

  • [(i)] Quin és el nombre de vendes esperat per un preu unitari de 50 000? I de 40 000?

    Es recomana realitzar aquest exercici manualment i després comprovar els resultats amb l'ajut de MINITAB.

• [7.] La siguiente tabla presenta algunos datos del número de líneas telefónicas por cada 1.000 individuos (Y) y el producto bruto interno per cápita (X) para Singapur en el período de 1966 a 1981 (16 años). ccc Año Y X
  
  

  1966 48 1589
  1967 54 1757
  1968 59 1974
  . . .
  . . .
  1979 262 4628
  1980 291 5038
  1981 317 5472

  Con estos datos tenemos: ll media de X = 3334.6 media de Y = 145.7
  varianza de X = 1.380 ×10⁶ varianza de Y = 7697.4
  covarianza entre X e Y = 1.003 ×10⁵
  • [(a)] Si suponemos una relación lineal entre X e Y (Y = a+bX+u), estimar a y b por mínimos cuadrados y analizar la bondad del ajuste.

  • [(b)] Si u es una variable aleatoria normal con media 0 y varianza s², estimar intervalos de confianza del 90% para b y s².

  • [(c)] ?`Tenemos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis de dependencia lineal entre Y y X?.

• [8.] Students are hired by a market research company to conduct interviews. To try to make the interviews more efficient, the training manager proposes to give the students additional training in interviewing techniques. Before the scheme is introduced, a group of 9 students is given the training and compared to another group of 10 students that receive no additional training. The number of interviews conducted by each student in a 5-hour working day is as follows:
  l ccc ccc ccc c STUDENTS WITH TRAINING: 20 19 18 16 16 18 21 20 17
  STUDENTS WITHOUT TRAINING: 17 11 15 21 13 13 9 15 14 13 We want to perform a hypothesis test to see if the students with training are able to conduct more interviews than those without.
  • [(a)] Use MINITAB to performe the two-group t-test. What do you conclude from the results?
  • [(b)] Use now MINITAB to realize that a regression analysis can be used to perform the same two-group t-test. You should repeat these instructions for yourself. First, put the two sets of observations into one vector which will be the y-variable (the response). Second, define the x-variable (the explanatory variable, or predictor) equal to 1 for students in the first group and 2 for students in the second group. Now do a graphical plot of y versus x and comment on what you see. Do you think it is valid to perform a regression analysis on these data? Then, do a regression of y on x.

    The regression results are equivalent to those of the two-group test in the following respects:

    1. The regression slope coefficient has the same value as the difference in means between the two groups (say why this is so -look at the graphic!- and say why the slope is negative).

    2. The t-statistic calculated previously in the two group problem is exactly the same as the t-statistic of the regression slope coefficient (explain why!).

    3. The estimated variance calculated previously in the two group problem is exactly the same as the ``MSE'' (estimate of the error variance) of the regression (explain why!).

    4. In the regression we used the values x = 1 for students in the first group (with training) and x = 2 for the students in the second group (without training). If we had used the value x=0 for the students in the second group, how would the results have changed? (say what the constant coefficient, the slope coefficient, and the t-statistic for testing the slope coefficient b would be). Answer this without performing the analysis, and then confirm your answer by doing the regression analysis.

    These are important questions: if you can answer them, it means that you have a good knowledge of the program MINITAB and that you understand the simple linear regression model.

• [9.] En un experimento agrícola se tomaron las alturas de una muestra aleatoria de plantas de haba de soja. También se anotó la edad en semanas de las plantas. Los datos son los siguientes: l rrr rrr r Edad en semanas 1 2 3 4 5 6 7
  Altura en centímetros 5 13 16 23 33 38 47 Queremos estimar la recta de regresión de la altura sobre la edad de la planta y usamos MINITAB para ello, colocando en C1 la edad y en C2 la altura. Se obtienen los siguientes resultados:

  
  MTB > Regress c2 1 c1.
  
  The regression equation is
  C2 = - 2.57 + 6.89 C1
  
  Predictor       Coef       Stdev    t-ratio
  Constant      -2.571       1.497      -1.72
  C1            6.8929      0.3346       ____
  
  s = 1.771       R-sq = ____%
  
  Analysis of Variance
  
  SOURCE       DF          SS          MS         F
  Regression  ____     1330.3        ____      ____
  Error       ____       15.7        ____
  Total       ____     1346.0
  
  

  Contestar a las siguientes preguntas sin utilizar el ordenador.
  • [(a)] Rellenar los huecos que en la salida del MINITAB se han reemplazado por ___.
  • [(b)] ?`Es la relación lineal significativa a nivel a = 0.05?
  • [(c)] ?`Es la pendiente de la recta significativamente distinta de 0 a nivel

    a = 0.05?

• [10.] Un investigador analitza la relació entre el saldo real Y, definit pel quocient entre la oferta monetària i el nivell de preus, i la renda real X de període 1900-1989. Es planteja la següent equació de regressió:

  Yt = a+ bXt + ut,   t = 1,¼,n

  on n = 90. Desgraciadament, després d'estimar els coeficients per mínims quadrats ordinaris, l'ordinador va tenir problemes i es van perdre les dades i part dels resultats de l'anàlisi. Només es va recuperar la següent informació:

  ^ Y   t  = -0.855 + 0.810 Xt

  n å t = 1  ^ u   2 t  = 5.73,      _ Y   = 0.976

  sY2 = 0.480     (variància mostral de Y)

  sX2 = 0.633     (variància mostral de X)

  Es demana:
  • [(a)] Calculeu la mitjana aritmètica de X i el coeficient de determinació R² del model de regressió.
  • [(b)] La teoria quantitativa diu que el valor del pendent (coeficient b) hauria de ser igual a 1. Contrasteu aquesta hipòtesi (nivel de significació del 5%).
  • [(c)] Feu una descripció breu dels supòsits estadístics utilizats en els apartats anteriors.

FACULTAT DE CIÈNCIES ECONÒMIQUES I EMPRESARIALS U.P.F.

ESTADÍSTICA Curs 1998-99, segon trimestre

Professors: Jordi Comas, Pedro Delicado i Michael Greenacre.

• [1.] Un artículo del periódico daba cuenta de los resultados de una encuesta preelectoral: ``Sobre una muestra de 4800 entrevistas, [...], y con un nivel de confianza del 95'5%, el margen de error es del ± H% para datos globales y bajo un supuesto de máxima indeterminación (p=q=0.5)". ?`Cuál es el valor arpoximado de H?

• [2.] Obtain any complete list which you can consider a population (e.g., telephone directory, list of personnel at UPF or your statistics class).

  • [(a)] Describe how you would take a random sample from this list and choose the first 10 units of this sample.
  • [(b)] Describe how you would take a 10% systematic random sample from this list and choose the first 10 units of this systematic sample.
  • [(c)] Define some variables which can be used to stratify the sample. (These may be available to you already, or you can define ones that are potentially available). Describe how you would take a stratified random sample from this list.

• [3.] En una empresa hi treballem 2000 homes i 500 dones. L'encarregat de vetllar per la igualtat d'oportunitats decideix escollir una mostra estratificada de 200 homes i 200 dones.
  • [(a)] Quina probabilitat té cada dona de ser escollida? I cada home?
  • [(b)] Es tracta d'una mostra probabilística ?
  • [(c)] A cada integrant de la mostra se li pregunta : ``Creus que, en general, les dones en aquesta empresa guanyen menys que els homes a igualtat de qualificació i treball".
    

      180 de les 200 dones digueren ``Si".
      60 dels 200 homes digueren ``Si".
    De les 400 persones de la mostra, 240 respongueren afirmativament. L'encarregat concluí : ``Segons els resultat de la mostra el 60% dels treballadors d'aquesta empresa considera que les dones estan mal pagades en relació al que cobren els homes".

    Et sembla correcta la conclusió ? Per què ?

Intruccions per l'examen:

1. Disposes d'un requadre per escriure el resultat de cada pregunta.

2. Escriu NOMÉS el resultat que es demana. Fes els càlculs en el full que se't donarà. No escriguis res més en els fulls d'enunciats. El full de càlculs s'ha d'entregar també.

3. Escriure els resultats numèrics amb 4 xifres significatives (ex.: 96.43, 0.4211).

• [4.] (2 punts) Un inversor té una cartera amb cinc fons diferents: a, b, c, d, e. El nombre mig de dies de venciment per aquests fons és respectivament de ccccc a b c d e
  41 39 35 35 33 Es trien aleatòriament sense reemplaçament dos d'aquests fons.

  • (0.5 punts) Fes una llista de totes les possibles mostres.
    

  • (0.5 punts) Troba la funció de probabilitat de la distribució mostral de la mitjana mostral.